Metody definiowania liczb

Z twierdzenia Gödla o niezupe?no?ci wynika, i? dowolna \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"porz?dnie opisywalna\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" aksjomatyka liczb naturalnych wewn?trz j?zyku pierwszego jest niezupe?na. Zatem na rzecz ka?dego jej modelu (konstrukcji) istniej? takie zdania, które bodaj prawdziwe wewn?trz obr?bie danej konstrukcji, nie daj? si? wyprowadzi? z aksjomatów. Arytmetyki Peany PA nie da si? poprze? sko?czon? liczb? aksjomatów owszem, i?by prawdziwo?? ka?dego jej twierdzenia dawa?a si? rozstrzygn??. Matematycy znaj? takie twierdzenia teorii liczb (np. twierdzenie Goodsteina), których nie mo?na dowie?? ani zaprzeczy? na gruncie PA (cho? wynikaj? one z aksjomatów Peany).pracaAksjomat indukcji jest najbardziej problematycznym z aksjomatów Peano. Sprawia gorsza po?owa, i? aksjomatyka liczb naturalnych nie jest wyra?ona wewn?trz j?zyku pierwszego oko?o, jakkolwiek w ?rodku to (jak wykaza? Richard Dedekind) jest niewiasta kategoryczna, czyli ka?de dubel modele spe?niaj?ce te aksjomaty s? izomorficzne.pracaUogólnieniem poj?cia liczno?ci zbioru sko?czonego na wszelkie plon, równie? niesko?czone, jest tzw. wigor zbioru. Dwa ?niwa A a B s? równoliczne (maj? t? sam? moc), je?eli elementy zbioru A mo?na scali? wewn?trz pary z elementami zbioru B, w istocie i?by wszelki pierwiastek zbioru A a wszelki pierwiastek zbioru B dotychczasowy wykorzystane uderzenie a wprost przeciwnie raz.pracaNa gruncie naiwnej (nie-aksjomatycznej) teorii mnogo?ci stwierdza si?, i? wolumen kardynalna to kategoria równowa?no?ci relacji równoliczno?ci zbiorów. Wówczas wigor zbioru to wolumen kardynalna która jest klas? równowa?no?ci tego zbioru. Formalizacja tego podej?cia na gruncie ZF jest raczej z?o?ona, gdy? w istocie zdefiniowane liczby kardynalne nie by?yby zbiorami, za? klasami w?a?ciwymi. Nawet u?ywaj?c formalizacji teorii mnogo?ci dozwalaj?cej na wykorzystanie klas, nie mogliby?my zdefiniowa? klasy wszystkich liczb kardynalnych, wypada tote? specjalizowa? si? si? do \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\"fragmentów pocz?tkowych\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\" klas równowa?no?ci a przemóc etap technicznych komplikacji.

Z tego powodu, na gruncie aksjomatycznej teorii mnogo?ci definiuje si? liczby kardynalne wewn?trz wzgl?dnie ró?ny sposób: wolumen kardynalna to tzw pocz?tkowa wolumen porz?dkowa, czyli taka wolumen porz?dkowa, która nie jest równoliczna z ?adn? liczb? porz?dkow? odk?d niej mniejsz? (równowa?nie: wolumen porz?dkowa która nie jest równoliczna z ?adnym swoim elementem). Przy za?o?eniu AC, wszelki zestaw jest równoliczny z pewn? (tak zdefiniowan?) liczb? kardynaln? nazywan? moc? tego zbioru.praca

• Start
• O co chodzi?
• Napisz artykuÅ‚
• Spis artykułów
• RSS